Sistemas de Numeración - Ultima Parte

Numeración decimal y binaria

Cuando en una numeración se usan diez símbolos diversos, a ésta se la denomina numeración decimal o en base 10. El valor de cada cifra es el producto de la misma por una potencia a 10 (la base), cuyo exponente es igual a la posición 0, las decenas la 1 y así sucesivamente.

Por ejemplo, 327 se puede descomponer en:

3 . 10² + 2 . 10¹ + 7 . 10º = 300 + 20 + 7 = 327

Siguiendo con el mismo razonamiento, podemos definir una numeración binaria o en base 2, donde los símbolos 0 y 1 vistos anteriormente asumen el valor numérico 0 y 1. Así, el número 10110 escrito en base 2 o binaria equivale al siguiente número en base 10 o decimal:

1 . 24 + 0 . 2³ + 1 . 2² + 1 . 2¹ + 0 . 2º = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = (22)10

En el sistema binario:

- Con 1 bit el valor más alto que se puede expresar es el 1.

- Con 2 bits el valor más alto que se puede expresar es el 3.

- Con n bits el valor más alto que se puede expresar es el 2 – 1.

Cada bit, según la posición que ocupa dentro del conjunto de un número binario, tiene un peso o un valor determinado en el sistema decimal.

Como vemos, el sistema binario emplea muchas cifras para representar una información. Para poder trabajar con más comodidad, los programadores emplean los sistemas octal y hexadecimal, que permiten operar con muchas menos cifras.

Sistema Octal

El sistema de numeración octal es también muy usado en la computación por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal. Como el sistema de numeración octal usa la notación posicional entonces para el número 3452.32q tenemos:
2*(80) + 5*(81) + 4*(82) + 3*(83) + 3*(8-1) + 2*(8-2) = 2 + 40 + 4*64 + 64 + 3*512 + 3*0.125 + 2*0.015625 = 2 + 40 + 256 + 1536 + 0.375 + 0.03125 = 1834 + 40625dentonces, 3452.32q = 1834.40625d

El subindice q indica número octal, se usa la letra q para evitar confusión entre la letra o y el número 0.

Sistema Hexadecimal

Un gran problema con el sistema binario es la verbosidad. Para representar el valor 20210 se requieren ocho dígitos binarios, la versión decimal sólo requiere de tres dígitos y por lo tanto los números se representan en forma mucho más compacta con respecto al sistema numérico binario. Desafortunadamente las computadoras trabajan en sistema binario y aunque es posible hacer la conversión entre decimal y binario, ya vimos que no es precisamente una tarea cómoda. El sistema de numeración hexadecimal, o sea de base 16, resuelve este problema (es común abreviar hexadecimal como hex aunque hex significa base seis y no base dieciseis). El sistema hexadecimal es compacto y nos proporciona un mecanismo sencillo de conversión hacia el formato binario, debido a ésto, la mayoría del equipo de cómputo actual utiliza el sistema numérico hexadecimal. Como la base del sistema hexadecimal es 16, cada dígito a la izquierda del punto hexadecimal representa tantas veces un valor sucesivo potencia de 16, por ejemplo, el número 123416 es igual a: 1*163 + 2*162 + 3*161 + 4*160 lo que da como resultado: 4096 + 512 + 48 + 4 = 466010 Cada dígito hexadecimal puede representar uno de dieciseis valores entre 0 y 1510. Como sólo tenemos diez dígitos decimales, necesitamos inventar seis dígitos adicionales para representar los valores entre 1010 y 1510. En lugar de crear nuevos simbolos para estos dígitos, utilizamos las letras A a la F. La conversión entre hexadecimal y binario es sencilla, considere la siguiente tabla:

Binario             Hexadecimal

 0000                   0
 0001                   1
 0010                   2
 0011                   3
 0100                   4
 0101                   5
 0110                   6
 0111                   7
 1000                   8
 1001                   9
 1010                   A
 1011                   B
 1100                   C
 1101                   D
 1110                   E
 1111                   F